Bitte das iPad ins Querformat drehen.So sind die Schreibflächen groß genug für den Apple Pencil.
Name Datum Kurs
Lernziel
Du erkennst, wann verschiedene Parametergleichungen dieselbe Gerade beschreiben, und begründest dies mithilfe von Richtungs- und Stützvektoren.
$g:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$
$h:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$
$i:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$
1
Geraden $g$ und $h$ untersuchen
a) Zeichne die Geraden $g$ und $h$ in das Koordinatensystem ein.
b) Beschreibe die gegenseitige Lage der beiden Geraden in Worten.
c) Zeichne die Richtungsvektoren der Geraden $g$ beginnend im Punkt $(0|1|1)$ und der Geraden $h$ beginnend im Punkt $(0|1|2)$ ein.
Tipp: Vergleiche die Richtungsvektoren und prüfe auf gemeinsame Punkte.
Beschreibung und Begründung zu b)
x₂
x₃
x₁
O
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
-1
1
2
3
-1
-2
Skizzenhinweis: Die Zeichnung muss nicht maßstabgetreu sein. Markiere Stützpunkte und Richtungsvektoren aber deutlich erkennbar.
Beobachtungen zur Skizze
Name Datum Kurs
$g:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$h:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$i:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
1d/e
Richtungsvektoren variieren
d) Gib drei weitere Richtungsvektoren für $h$ an, sodass die Lage aus Aufgabe 1 erhalten bleibt.
e) Beschreibe alle möglichen Richtungsvektoren für $h$.
Allgemeine Beschreibung
2
Wann sind $g$ und $i$ identisch?
a) Zeichne die Gerade $i$ in das Koordinatensystem ein.
b) Beschreibe die Lage der Geraden $g$ und $i$.
c) Zeichne die Stützvektoren von $g$ und $i$ jeweils beginnend im Ursprung ein.
Antwort zu b)
d) Drei weitere Stützvektoren für $i$:
e) Beschreibe alle möglichen Stützvektoren für $i$.
x₂ x₃ x₁
O
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
-1
1
2
3
-1
-2
Nutze das Koordinatensystem als Skizze. Der Rechenweg und die Begründung sind am wichtigsten.
Zusätzlicher Rechenweg oder Punktprobe
Name Datum Kurs
$g:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$h:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$i:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
2f
Welche Vektoren eignen sich als Stützvektor?
Prüfe rechnerisch, welche der drei Vektoren als Stützvektor für $i$ infrage kommen. Begründe jeweils mit einer Punktprobe.
$\vec{u} =$ $\begin{pmatrix} 0 \\ -101 \\ -50 \end{pmatrix}$
Prüfung für u
$\vec{v} =$ $\begin{pmatrix} 10 \\ 99 \\ 50 \end{pmatrix}$
Prüfung für v
$\vec{w} =$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 61 \\ 31 \end{pmatrix}$
Prüfung für w
2g
Zeige die Identität allgemein
Zeige: Zu jedem Parameter $t$ der Geraden $i$ gibt es einen Parameter $r$ der Geraden $g$, sodass dieselben Punkte beschrieben werden. Bestimme $r$ in Abhängigkeit von $t$.
Rechenweg und Schlussfolgerung
Name Datum Kurs
$g:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$h:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$i:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
3
Immer, nie oder nur unter Bedingungen?
Untersuche jede Aussage über zwei allgemeine Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{q} + s \cdot \vec{v}$. Kreuze eine Einschätzung an und begründe sie.
a) Die Geraden sind nicht identisch, wenn die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
Begründung oder Bedingung
b) Die Geraden sind identisch, wenn $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ für ein $k \in \mathbb{R}$ gilt.
Begründung oder Bedingung
c) Die Geraden sind nicht identisch, wenn die Stützvektoren $\vec{p}$ und $\vec{q}$ kollinear sind.
Begründung oder Bedingung
Name Datum Kurs
$g:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$h:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$i:$ $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
3
Aussagen d und e
d) Die Geraden sind identisch, wenn $\vec{p} = \vec{q}$ und $\vec{u} = \vec{v}$ gilt.
Begründung oder Bedingung
e) Die Geraden sind identisch, wenn es ein $t_0 \in \mathbb{R}$ gibt mit $\vec{p} = \vec{q} + t_0 \cdot \vec{v}$.
Begründung oder Bedingung
Mein Merksatz
Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn ...